抜糸が済んで唇の傷が多少落ち着いてから、歯の治療に入るつもりですが、
歯は歯茎から出ている部分がほぼ欠けた状態。

根は残っていて、レントゲンでも異常はなく、
特に痛みもありません。この場合、神経を抜き、差し歯にするのでしょうか？

あくまで根は健康なので、穴をあけ神経を抜くなどの痛い処置はしたくないのですが・・・。

歯の欠けた大きさによって処置が異なってきます。

少し欠けたくらいで破折部位から神経までの距離が遠くて、お痛みがない場合は保存的な修復が出来ます。レジン充填などによる方法です。

歯の欠けた部分が大きくて、破折部位から神経までの距離が近くなっていて、お痛みがあったりする場合や、そうでなくても歯の欠けた部分が大きい場合では、レジン修復による接着では限界がありますので、差し歯の治療になります。

どちらにしてもレジン修復では色が経年的に徐々に変色していきますので、審美的な修復をご希望でしたら、差し歯によるセラミッククラウンが第１選択となります。

一度審美歯科でカウンセリングを受けてみてはどうでしょうか。